↑ кі́тька «гра, що полягає в катанні яєць» ← (дит.) кіть «котитися»
коте́ць «вид великодньої гри, коли катають крашанки»
Як бачимо, у давнину ігролад часто вився навколо катання (яйця, колеса тощо) тому творення від "катити" цілком природнє.
гадаю катити теж може бути в якихось говірках, втім най буде від котити
Грінченко: http://hrinchenko.com/slovar/znachenie-slova/10356-ghrajka.html#show_point (перше значення; шле на "Знадоби до словаря южноруского" І. Верхратського)
Желехівський (том I, ст. 157): 1) das Spielen, Spielpartie.
Оооо мирооооо