uk.wikipedia.org: Гилка
"Ги́лка, гила́ (від гили́ти — «бити», «відбивати») — народна спортивна гра з м'ячем та палицею-битою.
...нагадує американську гру бейсбол і англійський рау"

http://hrinchenko.com/slovar/znachenie-slova/9167-ghylka.html#show_point
"Гилка — 1) Вѣтка. 2) Палка для подбиванія мяча. 3) Родъ игры въ мячъ."

sum.in.ua: ghylka
"Давня народна гра в м'яч".

Також, цікаво що пише ЕСУМ-11 під словом "бейсбол" — sum.in.ua: bejsbol
"командна спортивна гра з м'ячем і кийком, схожа на гилку."

ЕСУМ (ҐИЛА́):
"ги́лка «давня гра в мʼяч; гра з деревʼяною кулею Ж»
гила́ «грижа, кила; гра з деревʼяною кулею»"

ЕСУМ пише, що гилка є похідною від "кила", але зважаючи на те, що "гилка" має значення гілки, палиці, палиці для гри в гилку, то мені здається, що гилка може бути похідним від "гілка", оскільки для цієї гри треба палиця. Також в ЕСУМ під "гілка" подаються такі слова: гилина, гилька, гилявий, гилистий, гилля. Але, слова можуть бути просто омонімами. Це я так роздумую, до слова, можете не зважати.