ЕСУМ подає "листина" як синонім до "лист". Оскільки білети в більшості (первинно) робляться на папері, то можна розширити значення до квитка.
Схоже до чеського lístek та словацького lístok.

Французьке billet походить від латинського bulla, те ж від праіндоєвропейського *bew-, що в мові праслов'янській дало *bučati ("вити; ревіти"), з приведенням до української форми — "бучати".
Пор.:
Чеською: bučeti
Полабською: b'aucĕ
Польською: buczeć
Словацькою: bučať
Нижньолужицькою: bycaś
Верхньолужицькою: bučeć
В мові українській є у формі "бу́ча", тобто українське "буча" етимологічно є українським давнім братиком французького слова "billet".

І може комусь збільшення значення окрім "шуму, тривоги" до тями "білет" здасться марною, згадаймо з чим пов'язана у нас сесія і захист – з тим же ґвалтом, тривогою тощо.
Як на мене, слово "була" цілком доречно буде розширити до значення "екзаменаційний білет", це ж дозволить рідкісному зараз майже не вживаному (а тому під загрозою зникнення) слову, яке доходить ще до праіндоєвропейських часів, укорінитись у мові сучасній з розширеним значенням.

Те саме, що "квиток".

Через те, що білети первісно та й теперь найчастіше друкують на малих папірцях. Уже вживають вуживій мові. Порівняй із чеським ⟨lístkem⟩ та Антоновою Близнюковою ⟨листиною⟩ (з пояснінням у описі слова).

псл. pravъ ‹*prō-vos, утворене, очевидно, від *prō-, наявного в префіксі pra- «пра-»; "право"

описова назва за властивістю: документ, який засвідчує право людини на участь, проїзд, доступ або належність до певної установи чи спільноти

Те, що являють, показують, використовують. Що має бути побаченим.

купив білет = купив місце (в театрі, на пароплаві тощо)