Не плутайте з дили́на «т.с.». Очевидно, що діли́на від "діл" чи "ділити".
Утім, якщо саме від "діл", то це специфічна дошка, пор. стели́на. Але най це буде саме від укр. ділити ← псл. děliti ← псл. *dělъ.

Пор. поли́ця, оплі́н, опі́лок, пи́ла́, пі́лка, полови́ця, піл (пів)

Тв. мною від укр. піл < псл. polъ ~ дінд. phálakam «дошка, планка», дісл. fjǫl «дошка», дат. fjæl, шв. fjöl «т.с.», норв. fjel «коротка дошка», гр. σφέλας «лавочка, табуреточка», σπολάς «вичинена шкіра; хутряний плащ; шкіряний нагрудник», лат. spolium «знята шкура; руно», дісл. spjald, speld «чотирикутна дошка; маленька дощечка для ткання», дат. spjæld «пічна заслінка; клин у сорочці», шв. spjäll «скалка, скабка, уламок; поліно», дангл. speld «т.с.», англ. spall «тріска, лучина, скалка, уламок; розколювати», гот. spilda «дошка; таблиця; стіл», двн. spaltan «розколювати», свн. нвн. spalten, снн. spalden, spolden «т.с.», прус. spelanxtis «скалка, тріска». Загалом од іє. *(s)pel-/ (s)p(h)el- «розколювати».

Також укр. пи́ла́ < псл. pila най не вводить вас в оману, ніби воно від герм. *fīla, це слово від укр. піл, а може навіть пил :) Тобто те, що споріднене з "терти" з огляду на сам процес та тодішні знаряддя.

засвідчений відповідник

тв. мною від скоблити

тв. мною від засвідченого у значенні "тесана дошка" тес
хоча слово тес теж може згодити ся