Загалом це означає "довго шити мережки", але у переносному значенні це означає "писати":
r2u.org.ua: промережати
У Тараса Шевченка, наприклад, про його вірші: "Уже два годи промережав і третій в добрий час почну".
Гарно ще й тому, що інтернет звуть "всемережжям" або "міжмережжям": 
інтернет
Викладати - постити, виклад - пост.
Перекладала такий вислів з англійської "Posting my food in instagram" - "Викладаю свою їжу в інстаграм". В даному випадку не підходить жодне із запропонованих вище. Можливо для фейсбук ці терміни можна використовувати.
Якщо є чудове і вживане слово «допис» та похідне від нього «дописувати», то нащо вигадувати щось инше?