Можливою иншиною до вдалого «купільня» є одокореневе з ним «купіль». 
sum.in.ua: Kupilj
По перше, неясна є мотивація димінутиву, по друге, тут хибить загалом мотиваційно-семантичний звязок: лазня є від лазити, з конотацією на будову відповідного типу такого приміщення, облаштованого сходами, по яких "лазять" (можуть сидіти на різних рівнях висоти, парячись); у ванній кімнаті яко такій ничого такого нема.
Мотивація димінутиву дуже проста. У лазні можна помитися, попаритись, поплавати в басейні, замовити масаж, манікюр, педікюр а також вгамувати спрагу і голод в компанії друзів або родини під гарну музику. У ванній кімнаті житлового помешкання це все просто не поміститься, бо вона значно менша розміром, але помитися там теж можна (а це головне) - тому між лазнею і лазничкою є тісний мотиваційно-семантичний звязок.
Ви справді нічого не тямите з моїх пояснень чи просто кепкуєте? 😊
Так, мабуть, "лазня є від лазити", бо традиційна сільська лазня - маленька низька хатинка, я яку треба було залазити, пригнувшись. Але римські терми - це також велика громадська лазня, хоча там не конче було "лазити". 
uk.wikipedia.org: Терми
І ванна кімната - також маленька лазня, тому пасує димінутив "лазничка".
З чим саме Ви незгодні? Чи знову нічого не втямили?
ЕСУМ (мити): мо́вниця — лазня, ванна кімната.
Звідкти там "в"? Самому важко сказати. Підозрюю, шо від суфіксу "-овати", як в "умивати".
Додав також відміни "мивниця" та "мийниця".
Ванная (ванное помещение) – купі́льня.
r2u.org.ua: купільня
Російсько-український словник технічної термінології 1928р. (І. Шелудько, Т. Садовський)
+++
Помітив дилему, коли "купільнею", "кіпіллю" хочуть звати як "ванну, в якій миються" так і "ванну кімнату".
Треба з тим щось робити.