r2u.org.ua: гайовий
А також у пісні - Ішов відважний гайовий до лісу темного....
lésiouy
Вимова: {lʲe̝ʲˈʃu̟j ~ lʲiˈʃu̟j ~ lʲɛ̝ʲˈʃu̟j}, {lʲe̝ʲʃu̟ˈj- ~ lʲiʲʃu̟ˈj- ~ lʲɛ̝ʲʃu̟ˈj-}.
Від лішувати *lēs-y-ou-a-ti »полювати ← *ловити в лісі« ← lēs- »ліс«, творено чепенем -уй- *-y-ou-y-o-.
полювальник (дичини, за скарбами і т. ін.; «Полювальник за словом» — нарис про В. І. Даля (у кн.: Віталій Карпенко. Тут, біля самого моря. К., 1989)
Тараненко О. О. Словотворення української мови в аспекті її сучасних системно-нормотворчих тенденцій (кінець XX— початок XXI ст.). - С. 17
https://movoznavstvo.org.ua/index.php?option=com_attachments&task=download&id=608
"Багатий граф мав немало різного маєтку, а найбільше мав лісу.
Графські ліси сторожили гайники".
"Парк" є пізніший знак.
Yac véste?
Зі слівниць.
? Ci slœüniki caziõty oge znacyeinïe "park" e pozdéixe nege znacyeinïe "Jäger"?
Так Ви про "гай" питали, до чого тут "Jäger".
Та й якщо "гай" має зокрема знак "парк", що не так?
To <gay> e "park", a <gay-n-ik> "Jäger"??
"Гай" є не тільки парк... Не чуєте?
Та й якщо відштовхуватися від знаку "парк", то погляньмо на визначення тями "єгер", яке нас цікавить:
1)"Працівник заказників, парків і т. ін., який охороняє угіддя і звірів та птахів, що там водяться."
Бачите?
Від слова "дичина" (дикі птахи і звірі, на яких полюють і м'ясо яких використовують як їжу): 
sum.in.ua: dychyna r2u.org.ua: дичина
Від слова "дичина" (дикі птахи і звірі, на яких полюють і м'ясо яких використовують як їжу): sum.in.ua: dychyna r2u.org.ua: дичина
poleuy
Вимова: {pʷo͡ʊ̯ˈʎu̟j}, {pʷo͡ʊ̯ʎu̟ˈj-}.
Від полювати, словотвір див. під словом lésiouy.
Рупно.