Слово творено від слова чіп ("затка на отвір в посудині") з допомогою складеного суфікса -н- (виражає приналежність чи відношення до вихідного слова, себто чіпний) та -ик (виражає, зокрема, галузь заняття, напр. у людей, або застосунку в пристроїв чи знарядь).

Ви́вертка –
1) штопор, пробочник;
2) увертка.
Словник українсько-російський 1927р. (А. Ніковський)
r2u.org.ua: вивертка

штопор – коркотяжка.
// Павло Штепа. Словник чужомовних слів і термінів. - Монреаль, Канада, 1977 рік

Етимологічний словник української мови. Походження не пояснено. Я гадаю тягне, може, до прасл. *klest/*klesk- звуконаслідувального кореня, напр. у назві птаха (клест), й инших зокрема дієслівних утвореннях *klestati, *kleskati, *klestiti в різних слов'янських мовах (див більше в етим.словнику слов'янських мов під Трубачовом). Українське клешá є саме, підозрюю, може бути середнього роду ймен типу лоша, теля. Що до назви приладів, знаряддя, рівни творене за таким взором лещата (від *леща »дощечка для затискання«). Розвиток значення від кореня звуконаслідувального в клешá може бути пояснено характерним звуком при витяганні чопу з корчагу. Коли догад про зв'язок з сим коренем є вірен, то розвій значення би могло бути ще рівнено з иншими словами від сього кореня значити прилад колоти горіхи в инших слов'янських мовах – себо розвій значення від звука луску в значення відкриття.
Инший догад би міг бути з коренем *klūx- у словах клиша, клишавий і под. Потребує вточнень і глибшого вивчення.