Чому саме інститут?
http://hrinchenko.com/slovar/znachenie-slova/61529-ustanova.html#show_point
A cœmou ni? Ou latinscoho <institutum> sõty tage znacyeinïa cyto u rousscoho <oustanòua/ustanòua> u slwfnicé Grincênca.
Таке слово в принципі вже є 
sum.in.ua: vysh
Думаю, всі навчальні заклади потрібно називати навчальнями, додаючи уточнююче слово.
Вищий освiтнiй заклад; навчальний заклад, де здобувають вищу освiту
Від "вища [школа]" та суфіксу для місць "-ня" (кав'ярня, лікарня, вирібня...)
Словник давньоруської мови:
гранесловник — назва складної по змісту книги
інстанція
наші сусіди чехи та словаки так називають свої інститути та і деколи на телебаченні можна зустріти це слово.
Вища від чого?
Від середньої. Поляки, до речі, так само кажуть (szkoła wyższa).
Tẽgh to <szkoła wyższa> u lẽdscwy e, ta ne za tẽmõ "інститут". Za "інститут" e lẽdscoiõ <instytut>.
Чому ми не порівнюємо початкову школу з середньою? Початкова школа - середня школа - висока школа.
Вища навчальня – повністю українською.
Потрібна українська версія - висока школа. Українська мова багатша, бо має ступені порівняння прикметників, а названі раніше - ні. Тому українською мовою правильно буде - висока школа.
Шило на мило
—
Школа чуже