Див. коментар під: stréc, тут.

Творено мною від корене *strok- з парадигматичним *-y- (д.-рус. <-ь>); слово жіночого роду.

{strʲi͡eʲk ~ ʃtrʲi͡eʲk ~ strik ~ ʃtrik}.

Віддієслівний именник; ← від дієлова strécati "колоти"; д.-рус. <стрѣкати> "колоть; жалить; вырезывать; делать нарезки; мучить; побуждать" (http://oldrusdict.ru/dict.html# там, увівши: *стрѣк* див. и йинші слова зо значенням "наносити колоті зображення на тілі", "колоте зображення на тілі"). У новоруській мові відповідники з коренем *strēk- є наведено в ЕСУМ під статтями: стрикати (V, 442), а саме, передусім з <і>: <стрікати> "бризкати, прискати", <стрікнути> "ужалити". Форми з <е> та <и> в ненаголошенім складі суть двозначні: <е> ненаголошене може продовжувати як *<ѣ>, а тоді й вони тягли би до д.-рус. слів з коренем <стрѣк->, а може відбивати й рефлекс *<ь> спорідненої форми кореня *<стрьк-> (у ступени редукції), так само й <и> може відбивати як *<ѣ> після /r/ (пор. діалектну реалізацію: <ричка> "річка"), або різновид рефлекса *<ь> форми зо ступенем редукції *<стрьк-> — варіанта кореня *<стрѣк->. Инший фонетичний варіант є в руській представлено формами з <ш-> (ЕСУМ VI, 481: штрикати>). Инші споріднені корени з иншими голосними суть: *strok- — з *о в рус. <строка>, <строчити>, <стрічка> (див. ЕСУМ), д.-рус. слова з коренем <строк-, строч->, и, можливо з *u ( = д.-рус. <ъ> — *struk-: д.-рус.: стръкочениѥ "побуждение", проте первісність *u є тут під питанням – <ъ> в тім написанні може бути й просто крива передача форми з первісним *о; до такої ж двозначної форми може бути віднесено й рус. <штрокати> "рвати (про біль у кінцівках)" (ЕСУМ VI, 481; там же й <штрьокати> – <ьо> може бути рефлекс *<ь> корене *<стрьк->, див. вище).

Значення спеціальні: "наносити колоте зображення на тіло" – дієслово (в т.ч. як результат дії в формі пасивного дієприкметника з суф. <-н-> чи дієйменника з суф. <-ниє>), "колоте зображення на тілі" – йменник у Матеріалах Срезнівського найдемо тільки від коренів з *ē – <стрѣк->, та з *о — <строк->. Наведу засвідчені слова від сих коренів з такими, тобто пов'язаними прямо з поняттям "татуювання, тату, татуаж", значеннями (як їх дає Срезнівський):

настрѣканиѥ (имя дії) "нарезание; царапание",
настрѣкати (дієслово) "нарезать",
пострѣкати (дієслово) "нарезать",
стрѣкати (дієслово) "колоть, делать нарезки",
състрѣкати (дієслово) "делать уколы, надрезы",
строка (йменник) "нарезка; знак, знамение". Всі ті слова мають и йинші значення, але вони не мають сюди відношення.
Отже для передачі тями "тату, татуювання, татуювати, татуаж" исторично вірно є брати корени з *о чи з *ē. Я взяв корінь з *ē, оскільки корінь з *о є нині в руській мові вже зайнято різними тямами.

Саме слово <тату> (й похідні форми) походить из полинезийського слова з прямим значенням "колоти, штрикати~стрикати~стрікати". Від поняття "колоти, штрикати" були й у д.-грецькій именники: στίξις, στίγμα (відки в руській: <стигма>), які значили, крім иншого, саме "колоті (а також різані) зображення на тілі". Отже поняття татуювання було знано як давнім грекам, и в давній Руси.
Наведу цитати з Матеріалів Срезнівського, контекст яких однозначно говорить про "татуювання":

«Лицъ настреканія и дранія творяще»;

«Писаниі настрѣканъ да не створится въ васъ» («въ васъ» мається на увазі "на ваших тілах");

«И писменъ стрѣканъ не творите въ васъ»;

«Аще кто пострѣчеть знаменіе на челѣ своеⷨ и сажею натреть, поганыхъ бо ѡбычаи такъ.» – сей приклад, крім свідчення знайомости з самим поняттям, явищем, показує й ставлення церкви до його («поганыхъ бо ѡбычаи такъ»);

«назнаменавъшесѧ крьстьныими строками» ( ≈ "нанісши на себе колоті зображення хреста"; тут негативне, засудливе ставлення церкви ясно не випливає).

Шкіра + писати (тако означає «малювати»).
Як слова пере́пис, земле́пис, життє́пис, діє́пис, часо́пис, літо́пис, право́пис, руко́пис, само́пис.

зменшено-пестливе від «таврувати»

наколоти
набивок - мужечак від набивка

Кожа (забутий синонім до слова шкіра) + писати (тако означає «малювати»).
Як слова пере́пис, земле́пис, життє́пис, діє́пис, часо́пис, літо́пис, право́пис, руко́пис, само́пис.

У-/в- (у середину) + углити/уголяти/уголювати (новотвір) + -а/-иво/-тва.

Від новотвору "уголяти/уголювати" (засаджувати/встромляти голку; протикати голкою; тицяти глою) зі суфіксом "-иво" (прясти —> прядиво; морозити —> морозиво; пити —> пиво; варити —> вариво) або "-тва" (кля(с)ти —> клятва; молити —> молитва; бити —> битва; брити —> бритва), де віддієслівний іменник за значенням дії чи процесу переходить у йменник зі значенням наслідоку процесу, чи чогось, що стосується самого процесу/дії (як ось "бритва"). Дайте знати, якшо такий суфікс не правильно використаний.

Тату майстер — уго́л(ь)ник, угл(ь)а́р, уголка́р (на зразок "голкар" — людина, що виробляє голки), углій, угле́ць.
Тату майстриня — уго́л(ь)ниця, угл(ь)а́рка, уголка́рка, углі́йка, уголчи́ня, уго́лка, угли́ня.
Тату салон — уго́л(ь)ня, угл(ь)а́рня, уголка́рня (на зразок "голкарня" — голкова майстерня).

Таке слово, правда, підходить лише для тих тату, де шкіру протикають голкою. Для таких тату, які просто наносять на шкіру, як от хна, то треба інше слово (хнові тату взагалі називають тату?).

Синонім до слова "тавро"

У-/в- (у середину) + колоти + -а/-иво/-тва.
Те, що вколюють.
Мені особисто найбільше до вподоби "укола" й "уколиво".

Тату майстер — укі́л(ь)ник, укол(ь)а́р (на зразок "коляр" — той, хто заколює свиней), уколі́й, уко́лець.
Тату майстриня— укі́л(ь)ниця, укол(ь)а́рка, уколі́йка, укол(ь)чи́ня, уколи́ня, укі́лка.
Тату салон — укі́л(ь)ня, укол(ь)а́рня, уколі́йня, (уколе́чня?).