Зо́нтикъ = зо́нтик (Лїв.), паросо́лик, парасо́лька (Прав.), від дощу — до́щник (С. Пар.), від сонця — со́нїчник (С. Пар. Жел.). — Зо́нтикъ глазно́й = козирьо́к. — Вийшов пан с зеленим козирьком над очима. / Словарь росийсько-український 1893–1898рр. (М.Уманець, А.Спілка.)

А чому б і ні? Насправді слово відповідає дії яку ми робимо весь час із цим предметом. Для того, щоб парасолька нас захистила від дощу ми її розкриваємо, іншим словом розчепірюємо (розчепірити – розставляти, розсувати що-небудь у сторони).

«sole» у «parasol» означає «сонце»; гадаю, було б гарно, щоб у дощову погоду парасоля нагадувала своєю назвою про сонце (а первинно слово «сонячний» записували через літеру «ш»)
Прмітка: так називали по-народному колись ще якісь болі, але вживали то слово рідко (дядько ґуґл видав менше 500-ста результатів слову «соняшниця», що у півтори тисячі разів менше, ніж на слово «парасолька»), тому певен, що цим фактом можна знехтувати

Від "затінювати"