Було би добре виправити на "Картвельщина", та жаль вже не можна спитати цісаря, чи той не проти.
"Картвелщина" без "ль" просто неправильне за чинним правописом.
Порівняйте від твердої основи - "бувальщина" (бувал-), "затульщина" (затул-), "скитальщина" (скитал-)
https://www.kyivdictionary.com/uk/words/search/?beginning=&ending=льщина&lang=uk
З "-лщина" взагалі нічого не показує:
https://www.kyivdictionary.com/uk/words/search/?beginning=&ending=лщина&lang=uk
r2u.org.ua: *лщина
Тобто єдиний правильний запис - "Картвельщина".
Розлад множинної особистості 😔.